Robert Sturm wird als Sohn eines Schauspieler-Ehepaares 1965 in Dresden geboren. Anfang 1989 siedelt er in die Bundesrepublik über und studiert ab 1990 in Köln Theater-, Film- und Fernsehwissenschaft, Philosophie und Internationale Politik. Noch vor seinem Abschluss wandert er in die Praxis ab und arbeitet in Budapest und Szolnok als Regieassistent und Dramaturg. Dort folgen bald erste eigene Inszenierungen. 1999 begleitet er das Tanztheater Wuppertal bei der Recherchereise in Ungarn für Wiesenland, er wird zunächst Assistent für die entstehende Produktion, ab 2000 engagiert ihn Pina Bausch als Künstlerischen Assistenten und Probenleiter. In dieser Funktion arbeitete Sturm eng mit Pina Bausch zusammen bei der Entwicklung ihrer letzten zehn Uraufführungen Wiesenland, Água, Für die Kinder von gestern, heute und morgen, Nefés, Ten Chi, Rough Cut, Vollmond, Bamboo Blues, 'Sweet Mambo' und "...como el musguito en la piedra, ay si, si, si..." sowie bei den Wiederaufnahmen zahlreicher Stücke des Repertoires, wie Kontakthof, 1980 - Ein Stück von Pina Bausch, Bandoneon, Nelken, Auf dem Gebirge hat man ein Geschrei gehört, Viktor, Palermo Palermo, Der Fensterputzer und Masurca Fogo.
Nach ihrem Tod 2009 übernimmt Robert Sturm gemeinsam mit Dominique Mercy die Künstlerische Leitung des Tanztheater Wuppertal bis 2013. Zusammen mit Ulli Stepan leitet er die Jubiläumsspielzeit 2013/2014 „PINA40 – 40 Jahre Tanztheater Wuppertal Pina Bausch“ und arbeitet weiterhin als Leiter der Künstlerischen Administration und Probenleiter. In den Jahren 2015 und 2017 inszeniert Sturm in Wuppertal die spartenübergreifenden Projekte Romeo und Julia und Don Quijote de la Mancha in Zusammenarbeit u.a. mit Tony Cragg, Hubert Schirneck, Jean Laurent Sasportes, Wolfgang Schmidtke, Carolin Pook, Matthias Burkert, Gunda Gottschalk und Werner Dickel. 2021 führt er Regie bei seiner eigenen Bühnenfassung von „Moby-Dick“, mit Originalmusik von Alexander Balanescu und im Bühnenbild von Tony Cragg. Auf der Bühne standen neben vier Schauspieler*innen auch die ehemaligen Tänzer von Pina Bausch Ed Kortlandt, Jan Minarik, Jean Laurent Sasportes und Mark Sieczkarek. Seit 2019 ist Robert Sturm Künstlerischer Betriebsdirektor des Tanztheaters.